4 Grafos acíclicos dirigidos (DAGS)
Los grafos acíclicos dirigidos1 son una herramienta para representar visualmente las relaciones causales presentes en nuestro diseño experimental, ni más ni menos. Estos nos permiten representar gráficamente las variables aleatorias involucradas en un proceso que queremos estudiar y las relaciones causales entre ellas. Además, existen herramientas que, a partir de características de los DAGS, nos permiten decidir cuál es el modelo estadístico cuyo parámetro será una estimación del efecto causal que queremos estudiar.
1 A partir de ahora DAGS, del inglés Directed acyclic graphs.
4.1 Definiciones, características y ejemplos
Un DAG es una representación gráfica de una cadena de efectos causales. Los nodos -los circulitos o cuadraditos que vamos a ver más adelante- representan variables aleatorias y las flechas que los unen indican la dirección de la relación causal entre ellas. Por ejemplo, pensemos que queremos estudiar el efecto de tomar una aspirina en la intensidad de nuestro dolor de cabeza cuando nos duele la cabeza. Tenemos dos variables: Aspirina (A) e Intensidad del dolor (I). Esta relación la podemos expresar en el siguiente DAG:
¿Así de simple? Sí y no. ¿Qué pasa cuando las cosas se empiezan a complicar? Pensemos en el clásico ejemplo del mantra “correlación no implica causalidad”: la relación entre venta de helados (Hel) y accidentes por mordidas de tiburón en Australia(Sh). Si nosotros planteáramos que el aumento de la venta de helados causa el aumento de los accidentes no tendría mucho sentido, ¿no? Entonces, ¿qué está pasando? ¿qué pinta tiene el DAG? Bueno, como ya comentamos cuando hablamos de correlación, en este caso lo que tenemos es una causa común a ambos fenómenos que, a modo de simplificar, la podríamos resumir como la temperatura (T). Entonces, cuando sube la temperatura sube la venta de helados, pero también los accidentes por mordidas de tiburón. Una posible relación causal entre ambas variables podría ser esta:
Todo muy lindo, pero ¿para qué?
4.2 El criterio de las puertas de atrás
Una de las principales ventajas de plantear un DAG para estudiar una relación causal es que nos permite ajustar un modelo en el cual uno de sus parámetros es un estimador de la relación causal que queremos estudiar. Empecemos planteando los caminos posibles para llegar desde Hel a Sh. En este caso serían dos:
\[ \begin{array} _Hel \longrightarrow Sh \\ Hel \longleftarrow T \longrightarrow Sh \end{array} \]
El primero es lo que se llama un camino directo y es la relación causal que queremos estudiar. Por otro lado, el segundo (\(Hel \leftarrow T \rightarrow Sh\)) es lo que se llama una puerta de atrás y lo identificamos porque, al menos en alguna de sus relaciones causales, la flechita va para la izquierda. Identificar estos caminos puerta de atrás es una parte fundamental de controlar la variabilidad espúrea en nuestras relaciones causales. En particular, en este ejemplo tenemos un claro confusor y lo que queremos es controlar por T.
Simulemos esta relación y veamos que pasa:
Ver el código
set.seed(1414)
helados <- tibble(
Temperatura = rnorm(1000, 20, 5),
Helados = 1 + 1*Temperatura + rnorm(1000),
Ataques = 1 + 2*Temperatura + 0*Helados + rnorm(1000)
)Veamos qué Temperatura es una variable aleatoria con distribución normal con media \(20\) y desviación estándar \(5\). Tomamos \(1000\) muestras de esta y después generamos las variables Helados y Ataques como una combinación lineal de Temperatura más un error aleatorio de media \(0\) y desviación estándar \(1\). En la definición de Ataques podemos ver explícitamente que la influencia de Helados en Ataques es \(0\). Sin embargo, miremos la relación que existe entre ambas variables:
Vemos que ambas variables están altamente correlacionadas, de hecho, su r de Pearson vale 0.977. Sin embargo, nosotros sabemos que esta correlación es espúrea, que no hay una relación causal entre ventas de helados y ataques de tiburón, y que algo tenemos que hacer. Seguramente habrán escuchado muchas veces que lo que tenemos que hacer es “controlar” por la temperatura, lo que en el contexto de la regresión lineal no significa otra cosa que agregar Temperatura como una covariable. Ajustemos dos modelos de regresión, uno con la Temperatura como covariable y otro sin ella, y comparemos las estimaciones de los efectos causales (\(\hat\beta_H\))2 :
2 Donde \(\epsilon_i\) y \(\tau_i\) son los términos de error i.i.d. distribuidos normalmente con \(\mu=0\) y \(\sigma=1\).
\[ \begin{array} _lm_1&:& Ataques_i = \alpha + \beta_{H} Helados_i + \epsilon_i \\ lm_2&:& Ataques_i = \alpha + \beta_{H} Helados_i + \beta_{T} Temperatura_i + \tau_i \end{array} \] En la siguiente tabla podemos ver las estimaciones de \(\hat\beta_H\) para cada uno de los modelos:
| Dependent variable: | ||
| Ataques | ||
| Sin controlar por Temp. | Controlando por Temp. | |
| (1) | (2) | |
| Helados | 1.928*** | -0.001 |
| (0.013) | (0.032) | |
| Temperatura | 2.003*** | |
| (0.033) | ||
| Constant | 0.602** | 1.015*** |
| (0.291) | (0.134) | |
| Observations | 1,000 | 1,000 |
| R2 | 0.954 | 0.990 |
| Adjusted R2 | 0.954 | 0.990 |
| Residual Std. Error | 2.246 (df = 998) | 1.032 (df = 997) |
| F Statistic | 20,826.210*** (df = 1; 998) | 51,243.220*** (df = 2; 997) |
| Note: | p<0.1; p<0.05; p<0.01 | |
Como podemos ver, si no controlamos por Temperatura la estimación de \(\hat\beta_H\) tiene un valor cercano a \(1\), mientras que si controlamos por Temperatura tiene un valor cercano a \(0\), que es el valor “real” del parámetro \(\beta_H\). Todo muy lindo pero, ¿qué tiene que ver esto con los DAGS? Bueno, cuando planteamos un DAG existe algo que se llama el criterio de las puertas traseras que dice que para estimar el efecto causal que nos interesa debemos “cerrar” todas las puertas traseras que conectan la causa y elefecto. Y “cerrar”, en este contexto, es simplemente controlar por la variabilidad de alguna de las variables presentes en la puerta trasera. En este caso, al controlar por Temperatura cerramos la única puerta trasera y, por lo tanto, estimamos el verdadero efecto causal que nos interesa.
4.3 Colliders
Hasta ahora tuvimos que lidiar casi únicamente con confusores, pero existe otro tipo de variables en el contexto de un camino causal que se denomina collider. Veamos un ejemplo y apliquemos el criterio de las puertas traseras. Pensemos el siguiente ejemplo. Supongamos que queremos estudiar el efecto del factor de riesgo edad (Age) en la infección de COVID-19 (Cov), pero lo hacemos a través de datos voluntarios recabados por una aplicación móvil (App). Un DAG muy simplicado que podríamos plantear es el siguiente:
Ya que sabemos que la edad tiene un efecto en el uso de aplicaciones móviles y, podemos suponer, que las personas que se infectan de COVID-19 tienden a reportar más sus datos en la aplicación. Ahora veamos los caminos:
\[ \begin{array} _Age \longrightarrow Cov \\ Age \longrightarrow App \longleftarrow Cov \end{array} \]
Repitamos el ejercicio de simulación que utilizamos en el ejemplo de los confusores, solo que esta vez Cov es una variable dicotómica y, por lo tanto, debemos muestrearla de una distribución Bernoulli3:
3 Para más detalles sobre como simular una variiable con distribución Bernoulli (binomial con \(n=1\)) podemos ver el siguiente link.
Ver el código
set.seed(123)
covid <- tibble(
Age = rnorm(1000, 40, 10),
Covid = rbinom(1000, 1, prob = 1/(1+exp(10-.25*Age))),
App = 1 - 1*Age + 1*Covid +rnorm(1000)
)Puede verse que la verdadera relación entre Cov y Age, en términos de parámetros de una regresión logística, es \(0.25\). Veamos como se ve la edad de los infectados y no infectados:
Según el criterio de las puertas traseras deberíamos controlar por App para así cerrar ese camino. Ajustemos estas dos regresiones logísticas y veamos sus estimaciones de los parámetros:
\[ \begin{array} _glm_1&:& logit(Covid_i) = \alpha + \beta_{Age} Age_i + \epsilon_i \\ glm_2&:& logit(Covid_i) = \alpha + \beta_{Age} Age_i + \beta_{App} App_i + \epsilon_i \end{array} \]
En la siguiente tabla podemos ver las estimaciones de \(\hat\beta_{Age}\) para cada uno de los modelos:
| Dependent variable: | ||
| Covid | ||
| Sin controlar por App | Controlando por App | |
| (1) | (2) | |
| Age | 0.243*** | 1.354*** |
| (0.016) | (0.109) | |
| App | 1.100*** | |
| (0.103) | ||
| Constant | -9.787*** | -11.839*** |
| (0.631) | (0.763) | |
| Observations | 1,000 | 1,000 |
| Log Likelihood | -419.336 | -344.156 |
| Akaike Inf. Crit. | 842.672 | 694.312 |
| Note: | p<0.1; p<0.05; p<0.01 | |
La estimación del efecto correcta sería la del modelo sin controlar, pero ¿por qué pasa esto? Cuando tenemos un collider podemos considerar ese camino como cerrado por defecto y, al controlar por él, ese camino se abre. Entonces, si bien teníamos dos posibles caminos causales, solo uno estaba abierto y no necesitábamos controlar por App Esto se debe a App, App al no causar ninguna de mis otras dos variables, ese camino causal está cerrado. Para reflexionar un poco en por qué ese camino se abre al controlar por un collider les recomendamos las reflexiones del capítulo 8 de (Huntington-Klein 2021).
4.4 Un ejemplo
Analicemos un ejemplo que tiene un poquito de todo. En este queremos estudiar el efecto de las vitaminas (Vits) en los defectos de nacimiento (BD). Además de esta relación, podemos identificar otras variables que podrían influir en ellas: la dificultad para concebir un embarazo (DC); el cuidado pre-natal (PNC); el status socioeconómico (SES); y aspectos genéticos (Gen). El flujo de causalidad propuesto entre las variables puede verse representado en el siguiente DAG4:
4 Recuerden que el diagrama causal no es un problema estadístico, sino que se plantea previo a cualquier consideración estadística, a partir del conocimiento del dominio que tenemos.
Ver el código
dag_Vit <- dagitty::dagitty('dag {
BD [outcome,pos="0.109,0.631"]
DC [pos="0.117,-1.517"]
Gen [pos="0.850,-0.411"]
PNC [pos="-0.837,-0.433"]
SES [pos="-1.839,-1.468"]
Vits [exposure,pos="-1.844,0.645"]
DC -> PNC
Gen -> BD
Gen -> DC
PNC -> BD
PNC -> Vits
SES -> PNC
SES -> Vits
Vits -> BD
}')
tidy_dag <- tidy_dagitty(dag_Vit)
ggdag(tidy_dag) +
theme_dag()
Si tenemos todos estos datos observados y queremos estimar el efecto causal de las vitaminas en los defectos de nacimiento, lo primero que tenemos que hacer es plantear todos los caminos abiertos. Esto lo podemos hacer a ojo, pero también nos podemos ayudar con la función ggdag_paths del paquete {ggdags}5. A continuación vemos un ejemplo de uso de esta función:
5 Esto resulta especialmente útil cuando los DAGS se empiezan a complicar.
Ver el código
dag_Vit %>% ggdag_paths(from = "Vits", to = "BD", shadow = TRUE) +
theme_dag() +
theme(legend.position = "bottom")
Podemos ver que los caminos abiertos son:
\[ \begin{array} _Vits \longrightarrow BD\\ Vits \longleftarrow PNC \longrightarrow BD\\ Vits \longleftarrow PNC \longleftarrow DC \longleftarrow Gen \longrightarrow BD \\ Vits \longleftarrow SES \longrightarrow PNC \longrightarrow BD \end{array} \]
Pero ¿por qué no está abierto el camino \(Vits \leftarrow SES \rightarrow PNC \leftarrow DC \leftarrow Gen \rightarrow BD\)? ¡Exacto! Está cerrado porque, en este camino, PNC es un collider, ya que está causada tanto por SES como por DC. Resulta importante notar que una variable puede ser un collider en el contexto de un camino causal particular, sin que esto implique que lo sea en todos los caminos. De hecho, podemos ver que PNC actúa como un confusor en el camino \(Vits \leftarrow PNC \rightarrow BD\). La función ggdag_collider también nos puede ayudar a identificar un collider.
Ver el código
dag_Vit %>% ggdag_collider() +
theme_dag() +
scale_color_brewer(palette = "Dark2")
Entonces, tenemos cuatro caminos abiertos: el que queremos estudiar y tres puertas de atrás. Sin embargo, todo indica que tenemos que controlar por PNC y listo, ¿no? Apliquemos esto agregando el parámetro adjust_for = "PNC" a la función ggdag_paths:
Ver el código
dag_Vit %>% ggdag_paths(from = "Vits", to = "BD",
adjust_for = "PNC", shadow = TRUE) +
theme_dag() +
labs(hue = NULL) +
theme(legend.position = "bottom")
Sin embargo, podemos ver que, aún controlando por PNC, los caminos abiertos son:
\[ \begin{array} _Vits \longrightarrow BD\\ Vits \leftarrow SES \rightarrow PNC \leftarrow DC \leftarrow Gen \rightarrow BD \end{array} \]
¿Qué pasó? Bueno, lo que pasó es que al controlar por un collider abrimos un camino que estaba cerrado. Miremos qué pasa si controlamos por PNC y DC:
Ver el código
dag_Vit %>% ggdag_paths(from = "Vits", to = "BD",
adjust_for = c("PNC", "DC"), shadow = TRUE) +
theme_dag() +
labs(hue = NULL) +
theme(legend.position = "bottom")
Ahora sí, el único camino abierto es \(Vits \rightarrow BD\), que es la relación causal que queremos estudiar. Finalmente, el modelo que deberíamos ajustar es:
\[ BD_i = \alpha + \beta_{Vits} Vits_i + \beta_{PNC} PNC_i + \beta_{DC} DC_i + \epsilon_i \]
Donde \(\beta_{Vits}\) es un estimador del efecto causal que queremos estudiar.
Para más ejemplos y detalles sobre los DAGS pueden consultar (Cunningham 2021) o (Huntington-Klein 2021). El canal de YouTube de Nick Huntington-Klein también es un excelente recurso para profundizar sobre estos temas6.
Cunningham, Scott. 2021. Causal inference: The mixtape. Yale university press.
6 Nick es el autor de (Huntington-Klein 2021).
Huntington-Klein, Nick. 2021. The effect: An introduction to research design and causality. Chapman; Hall/CRC.
4.5 Preguntas de repaso
¿Qué es un DAG? ¿Qué representan los nodos y qué representan las flechas?
¿Qué es un confusor en el contexto de un DAG? ¿Qué problema genera para la estimación del efecto causal? ¿Cómo se lo identifica en el DAG?
¿Qué es una puerta de atrás? ¿Cómo se la identifica en un DAG? ¿Qué implica su existencia para la estimación del efecto causal de interés?
Explica el criterio de las puertas traseras. ¿Qué significa “cerrar” una puerta de atrás? ¿Cómo se hace en la práctica en un modelo de regresión?
¿Qué es un collider? ¿Por qué un camino que contiene un collider está cerrado por defecto? ¿Qué sucede cuando controlamos por este?
¿Qué es un mediador? ¿Se controla por este?
Una variable puede ser collider en un camino y confusor en otro. ¿Cómo puede ocurrir esto? ¿Qué implica para la decisión de controlar o no por esa variable?
¿Cuál es la diferencia entre correlación y causalidad en el contexto de los DAGs? ¿Por qué una correlación observada entre dos variables no implica necesariamente que existe una flecha entre ellas en el DAG?
4.6 Dos casos aplicados para pensar
Estás estudiando el efecto del uso frecuente de herramientas de inteligencia artificial para redactar textos, sobre la performance en una tarea de redacción para la materia escritura y oratoria.
Tenés información sobre las siguientes variables:
- Uso de AI: Uso frecuente de IA para redactar (binaria: sí/no)
- Score: Puntaje obtenido en la tarea de redacción
- Habilidad Previa: Nivel de habilidad previa en escritura
- Motivación: Nivel de motivación del estudiante
- Tiempo Dedicado: Tiempo que dedicó a la tarea
- Años de educación: Nivel educativo del estudiante
- Dislexia: Presencia de dislexia u otras dificultades del lenguaje (binaria)
- Estilo Texto: Estilo del texto redactado
- Rendimiento Académico: Rendimiento académico general en la materia
- Feedback: el feedback que recibe de la tarea de redacción
Las relaciones causales entre variables son las siguientes:
- Los años de educación influyen en la habilidad previa en escritura.
- La habilidad previa en escritura afecta el puntaje en la tarea, la probabilidad de usar IA y el estilo del texto.
- La presencia de dislexia afecta negativamente el puntaje y aumenta la probabilidad de usar IA.
- La motivación influye en el uso de IA y en el tiempo dedicado a la tarea.
- El uso de IA afecta el tiempo dedicado a la tarea, el estilo del texto, y el puntaje.
- El tiempo dedicado a la tarea influye en el puntaje.
- El estilo del texto afecta el puntaje.
- El puntaje influye en el rendimiento académico.
- El uso de IA también influye en el rendimiento académico.
- El feedback depende del estilo del texto y del tiempo dedicado a la tarea
- Años de educación afecta al puntaje
- Usando las relaciones descritas, armar el DAG
- Identifica todos los caminos causales, y menciona cuales están abiertos y cuáles están cerrados
- Clasifica las variables según confusoras, mediadoras o colliders y explica que pasa cuando ajustas por ellas.
- Según la clasificación y los caminos causales, propone el modelo que ajustarías
El gobierno de Neuquén implementó un programa que incorpora profesionales de salud mental (psicólogos y trabajadores sociales) en escuelas secundarias públicas de zonas vulnerables. El objetivo es evaluar si la presencia de estos profesionales mejora el rendimiento académico, medido como el promedio de notas al final del año de la escuela. Las escuelas fueron seleccionadas para participar del programa en base al nivel socioeconómico del barrio en el que se encuentran: aquellas ubicadas en barrios de menor NSE fueron las seleccionadas.
Un equipo de investigación identificó las siguientes variables relevantes, todas medidas a nivel escuela:
- SM: presencia del programa de salud mental en la escuela (tratamiento, variable binaria)
- RA: promedio de notas de los estudiantes al final del año (outcome)
- NSE: índice socioeconómico del barrio donde se ubica la escuela, construido a partir de datos censales (ingreso promedio del hogar, nivel educativo de los padres, hacinamiento)
- B: índice de bienestar estudiantil promedio de la escuela, medido al inicio del año con una encuesta a estudiantes que incluye dimensiones de salud mental, vínculos con pares y sentido de pertenencia
- Aus: tasa de ausentismo promedio de los estudiantes durante el año, medida como porcentaje de días de clase con inasistencia
El equipo propone el siguiente DAG, basado en evidencia de la literatura:
Con este DAG, respondé las siguientes preguntas:
a. Describí el DAG completo. Identificá cuál es el camino directo entre SM y RA, y cuáles son las puertas traseras. ¿Cuáles de esas puertas están abiertas?
b. Identificá todos los caminos causales entre SM y RA, en donde indiques para cada uno si está abierto o cerrado y por qué.
c. ¿Hay algún *collider* en este DAG? Identificalo y explicá por qué es un *collider* en el contexto de al menos un camino específico. ¿Qué pasaría si el equipo controlara por esa variable?
d. Aplicando el criterio de las puertas traseras, ¿por qué variables habría que controlar para estimar correctamente el efecto causal de SM sobre RA? Justificá cada decisión.
e. Escribí el modelo de regresión que deberías ajustar para estimar el efecto causal de interés, según lo que determinaste en la pregunta anterior.
f. El equipo propone controlar por Aus porque "es una variable importante que afecta el rendimiento". ¿Estás de acuerdo?